Todo sobre estadística

Muestreo Sistemático

2009-06-03T13:39:00.003+02:00

En este muestreo se parte de una población de unidades numeradas en algún orden. Para seleccionar una muestra de unidades (siendo ) tomamos al azar una unidad entre las primeras unidades, y de ahí en adelante tomamos cada -ésima unidad. recibe el nombre de intervalo de selección.

Este tipo de muestreo presenta ventajas aparentes sobre el muestreo aleatorio simple, como son:

Es más fácil y rápido de obtener la muestra.
Ninguna sucesión grande de elementos de la lista queda sin representación, a causa de esto en ocasiones el muestreo sistemático puede ser más representativo que muestreo aleatorio simple.
En la práctica es más sencillo llervarlo a cabo y por lo tanto está menos expuesto a los errores de selección que cometen los investigadores de campo.
Se puede poner en práctica sin conocer de antemano el tamaño de la población.

El proceso para la selección de una muestra mediante este método empieza con la determinación del valor . Esta decisión es importanto, ya que si tomamos un valor muy grande la muestra será muy pequeña y si tomamos una muy pequeño la muestra será muy grande.
En la práctica se debe seguir el siguiente procedimiento para seleccionar el intervalo de selección:

Si es conocido, se determina el tamaño de la muestra aproximado para la encuesta y luego se selecciona como la parte entera de .
Si el tamaño poblacional es desconocido no se puede seleccionar exactamente el valor de .

Estimadores y sus varianzas.

Las probabilidades de inclusión vienen dadas por

y las de segundo orden como

si y pertenecen a la misma muestra, y es nula en otro caso.

La expresión de los estimadores insesgados es la siguiente, obtenidos a partir del estimador de Horvitz - Thompson:

Para la Media:

Para el Total:

Para la Proporción:

Estimación de las Varianzas.

En la práctica para estimar las varianzas de las estimaciones para este método, se pueden utilizar varios métodos como las muestras interpenetrantes, diferencias sucesivas, etc. En este caso vamos a considerar el método de las poblaciones al azar, que se utiliza cuando la muestra se puede considerar los suficientemente aleatoria y como estimadores de las varianzas se utilizan las expresiones del muestreo aleatorio simple.

Distribución de Probabilidad Normal

2009-06-01T20:29:00.004+02:00

Una variable aleatorio se dice que sigue una distribución normal de media y varianza si su función de densidad se escribe de la forma:

Propiedades:

Toma valores en todo .
Es una función simétrica respecto de.

Es estrictamente creciente si y estrictamente decreciente si .
Posee un máximo en.

Posee puntos de inflexión en y .
En posee una asíntota horizontal.

Características:

Esperanza: La esperanza de la distribución es.
Varianza: La varianza de la distribución es.
Función Generatriz de Momentos: La función de generatriz de momentos es

Cambio de origen y escala: La variable no se ve afectada por cambios de origen ni escala, es decir, si entonces posee la siguiente distribución

Muestreo Estratificado: Tamaño Muestral

2009-05-15T14:28:00.005+02:00

Como es usual, determinamos el error máximo admisible, , y el coeficiente correspondiente al nivel de confianza . Además, en muestreo estratificado necesitamos determinar también el tipo de afijación que se va a considerar. Así obtenemos los diferentes tamaños muestrales:

Para la media:

Para el total:

Para la proporción:

Muestreo Estratificado: Número de Estratos

2009-05-15T14:22:00.002+02:00

Para determinar el número de estratos se suele utilizar la expresión:

siendo el coste por unidad el coste por estrato. El problema que presenta esta fórmula es que no es muy operativa ya que depende del tamaño de la muestra.

En general la precisión aumenta con el número de estratos si estos están bien elegidos, pero no conviene produgar su número si tal aumento no compensa las complicaciones de cálculo. Evidentemente el número máximo de estratos debe ser para poder estimar las varianzas en cada estrato, y en general se recomienda tomar menos de 6 estratos.

Muestreo Estratificado: Afijación

2009-05-15T13:57:00.005+02:00

Se da el nombre de afijación a la asignación del tamaño muestral entre los distintos estratos. Pueden establecerse diversas formas de repartir la muestra, entre las que destacan cuatro especialemente:

Afijación uniforme: Se toman todos los iguales, es decir, se asigna el mismo número de unidades a cada estrato, esta afijación favorece a los estratos más pequeños y perjudica a los grandes:

Afijación proporcional: En este caso es proporcional al tamaño del estrato

con

Todas las unidades tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas

Afijación de mínima varianza o de Neyman: En este tipo de afijación se eligen de forma que minimicen la varianza para un fijo. El problema consiste en minimizar sujeto a . Por lo tanto la muestra se reparte como:

Afijación óptima: En este caso se elige de forma que minimicen la varianza para un coste fijo . En este coste viene dado por , donde es el coste por unidad en el estrato y es el coste inicial. La afijación queda:

Muestreo Estratificado Aleatorio: Intervalos de Confianza

2009-05-15T13:27:00.004+02:00

Si suponemos que el tamaño de la muestra es suficientemente grande como para que los estimadores se distribuyan según una normal, obtenemos las siguientes expresiones para los intervalos de confianza a nivel :

Para el total: .

Para la media: .

Para la proporción: .

Muestreo Estratificado Aleatorio: Estimadores y Varianzas

2009-05-15T13:00:00.005+02:00

Para el caso particular para el que en cada estrato se realiza un muestreo aleatorio simple,

, se dice que el diseño muestral es un muestreo estratificado aleatorio y las pobabilidades de inclusión son:

y los estimadores adoptan la forma:

Para el total: .

Para la media: .

Para la proporción: .

Cuyas varianzas estimadas son las siguientes:

Para el total: .

Para la media: .

Para la proporción: .

Cabe observar que los estimadores de estas varianzas coinciden con los estimadores de Yates - Grundy.

Muestreo Estratificado

2009-05-15T12:25:00.006+02:00

En el muestreo estratificado la población de unidades está dividida en subpoblaciones unidades. Estos subpoblaciones (estratos) no se superponen y juntas forman la totalidad de la población. De cada estrato se extrae una muestra, y por tanto la muestra final estará compuesta por el conjunto de estas submuestras.

Diseño muestral.

En la población estratificada en estratos , con el diseño muestral definido en cada estrato, independientemente de los demás estratos, se obtiene una muestra con probabilidad .

Probabilidades de inclusión.

Las probabilidades de inclusión de primer orden son, , probabilidad de inclusión en la muestra si el elemento está en el estrato .

Las probabilidades de inclusión de segundo orden son:

Si ambas unidades están en : .
Si la unidad está en y la unidad está en con : .

Método de Fan, Muller y Rezucha para la obtención de una Muestra Aleatoria Simple

2009-05-15T12:00:00.005+02:00

Para seleccionar una muestra aleatoria simple mediante este método hay que seguir los siguientes pasos:

Para cada elemento de la población se genera un número aleatorio entre 0 y 1.
Se hace un recorrido secuencial de la población y si se introduce la unidad en la muestra comprobando que no estuviera anteriormente introducida, en el caso de que esté repetida se pasa a la siguiente unidad. Si se introduce la unidad se vuelve a empezar en el paso 1.
El algoritmo termina cuando .

Contraste sobre la media de una población normal

2009-05-15T09:58:00.013+02:00

Los siguientes contrastes se realizan suponiendo que la distribución poblacional de nuestra muestra es normal. En primer lugar distinguiremos dos casos, cuando la varianza es conocida y cuando la varianza es desconocida. El contraste a realizar es el siguiente a un nivel de significación :

Cuando la varianza poblacional, , es conocida se utiliza el siguiente estadístico de contraste:

que se distribuye asintóticamente como uno Normal tipificada. Y por lo tanto rechazaremos la hipótesis nula cuando:

En el caso de que la varianza poblacional sea desconocida el estadístico de contraste a utiliza es

Y rechazaremos la hipótesis nula para cuando

y en el caso de que se rechazará cuando

Índice de Gini

2009-05-15T09:48:00.007+02:00

El índice de Gini nos sirve para calcular el área encerrada entre la curva de Lorenz y la diagonal que pasa por los puntos (0,0) y (1,1), así podremos cuantificar de forma más sencilla si existe equidistribución o no y también nos permiterá realizar una mejor comparación entre diferentes variables.

La expresión para calcularlo es:


 G=\left|1-\sum_{i=1}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)(y_{i+1}-y_i)\right|

Está acotado entre 0 y 1, y cuanto menor sea el indicador mejor equidistribución existirá en la población.

Curva de Lorenz

2008-09-10T11:19:00.000+02:00

La curva de Lorenz es un caso de una medidad de concentración. Estos estadísticos se aplican a variables socio-económicas que son susceptibles de ser repartidas, como puede ser el nivel de renta, los salarios, beneficios, etc. El reparto de las variables puede ser en función de zonas geográficas, ubicaciones o categorías.

El objetivo es observar y mediar como se reparte el total de la variable de interés:

entre los individuos de la población.

Curva de Lorenz

La curva de Lorenz es la curva que pasa por los pares de puntos donde:

Podemos observar que es la frecuencia relativa acumulada. También podemos ver que es la distribución de cada uno de los valores o el porcentaje del total acumulado por los individuos con un valor observado .
Otra característica que nos llama la atención es que ambas medidas toman valores entre 0 y 1.

Propiedades:

La curva de Lorenz siempre empieza en el punto (0,0) y termina en el punto (1,1)
Es un curva creciente.
Siempres es inferior o igual que la diagonal que pasa por los puntos (0,0) y (1,1).

Por lo tanto para realizar la representación de la curva en primer lugar vamos a representar la recta (0,0) y (1,1) y después vamos representar cada par de puntos .

La curva de Lorenz tendrá la siguiente estructura:

Por lo tanto cuanto más cercana este la curva a la digonal implica una mayor equidistribución. Y cuando más lejana esté menor equidistribución en el reparto del total.

Muestreo Aleatorio Simple: Tamaño muestral

2008-09-03T10:52:00.002+02:00

En primer problema con el que nos encontramos a la hora de poner en práctica un diseño muestral dado, es la elección del tamaño de muestra, ya que la mayoría de las veces estamos sujetos a restricciones de algún tipo, como pueden ser económicas o precisión. En el caso del muestreo aleatorio simple el tamaño muestral viene dado por:

donde el valor varía según el parámetro que se quiera estimar. En el caso que se quiera estimar la media viene dado por:

Cuando nos interesa estimar el total:

Y si lo que queremos estimar es una proporción tenemos que:

Donde:

k, es la abcisa que deja una probabilidad a su derecha, es un valor fijado de antemano por el investigador o por los requerimentos del estudio.

e, es el error máximo admisible que se quiere considerar, al igual que el valor k es un valor fijado de antemano por el investigador.

Puesto que n tiene que ser un número natural, tomaremos el valor entero más próximo por exceo al obtenido en la fórmula.

Como se puede observar al intentar obtener el un tamaño muestral nos encontramos con que en las fórmulas aparecen parámetros que son desconocidos antes de realizar el estudio como es el caso de la cuasivarianza o la proporción poblacional. Ante estos casos lo que debemos hacer es lo siguiente:

Si la muestra o el estudio ha sido realizado con aterioridad tendremos un valor que lo podremos utilizar para obtener un valor aproximado de n.

Si entonces calcularemos n por el peor valor de , con lo que tendremos el mayor tamaño muestral para esa varianza.

Si conocemos el rango de la variable entonces lo podremos estimar por

Si no disponemos de alguna de estas informaciones entonces cojeremos una muestra piloto para estimarla.

Para el caso de una proporción si no disponemos de información de un estudio anterior consideraremos P = Q = 0.5, que nos proporcionará el mayor tamaño muestral posible para una proporción.

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Muestreo Aleatorio Simple: Estimadores y Varianzas

2008-08-27T23:27:00.002+02:00

ESTIMADORES DE LOS PARÁMETROS

Nos vamos a restringir a tres tipos de parámetros: el total poblacional de una variable X:

la media poblacional de esta misma variable:

y la proporción de la población que pertenece a un grupo determinado:

donde es una variable indicadora que toma valor 1 si la unidad seleccionada posee la característica y toma el valor 0 si no la posee.

Los estimadores son los siguientes:

- TOTAL, es el total muestral:

- MEDIA, es la media meustral:

- PROPORCIÓN, es la proporción muestral:

Estos estimadores son insesgados para los parámetros poblacionales.

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ESTIMACIONES DE LAS VARIANZAS

A continuación vamos a mostrar la expresión de las varianzas para los parámetros antes mostrados.

Varianza de la media muestral:

donde es la fracción de muestreo, y es la cuasivarianza muestral.

Varianza del total muestral:

Varianza de la proporción:

Por lo tanto el error de muestreo para cada uno de los parámetros será la raiz cuadrada de las anteriores varianzas. Además los estimadores anteriores son estimadores insesgados para las varianzas poblacionales.

Muestreo Aleatorio Simple

2008-08-26T10:29:00.000+02:00

El muestreo aleatorio simple es el diseño muestral en el cual n unidades distintas son seleccionadas de entre las N unidades poblacionales, de forma que cada posible combinación de unidades tiene la misma probabilidad de ser elegida. Así llamamos U a la población, este diseño muestral viene definido por el par , donde el soporto del diseño está constituido por todas las muestras de tamaño n que se pueden obtener de U, y la distribución de probabilidad asociada es la uniforme.

Así pués el muestreo aleatorio simple que suele denotarse por , se puede definir como:

tal que

Por otra parte la probabilidad de que una unidad cualquiera pertenezca a la muestra es:

y la probabilidad que tienen dos unidades de pertenecer simultáneamente a la muestra viene dada por:

El Blog

2008-08-25T19:30:00.000+02:00

Blog de actualización periódica dedicado a la estadística.