Todo sobre estadística

miércoles 3 de junio de 2009

Muestreo Sistemático

En este muestreo se parte de una población de $N$ unidades numeradas en algún orden. Para seleccionar una muestra de $n$ unidades (siendo $N=nk$ ) tomamos al azar una unidad entre las primeras $k$ unidades, y de ahí en adelante tomamos cada $k$ -ésima unidad. $k$ recibe el nombre de intervalo de selección.

Este tipo de muestreo presenta ventajas aparentes sobre el muestreo aleatorio simple, como son:

Es más fácil y rápido de obtener la muestra.
Ninguna sucesión grande de elementos de la lista queda sin representación, a causa de esto en ocasiones el muestreo sistemático puede ser más representativo que muestreo aleatorio simple.
En la práctica es más sencillo llervarlo a cabo y por lo tanto está menos expuesto a los errores de selección que cometen los investigadores de campo.
Se puede poner en práctica sin conocer de antemano el tamaño de la población.

El proceso para la selección de una muestra mediante este método empieza con la determinación del valor $k$ . Esta decisión es importanto, ya que si tomamos un valor muy grande la muestra será muy pequeña y si tomamos una muy pequeño la muestra será muy grande.
En la práctica se debe seguir el siguiente procedimiento para seleccionar el intervalo de selección:

Si $N$ es conocido, se determina el tamaño de la muestra $n$ aproximado para la encuesta y luego se selecciona $k$ como la parte entera de $N/n$ .
Si el tamaño poblacional $N$ es desconocido no se puede seleccionar exactamente el valor de $k$ .

Estimadores y sus varianzas.

Las probabilidades de inclusión vienen dadas por

$\pi_i=\frac{1}{k}$

y las de segundo orden como

$\pi_{ij}=\frac{1}{k}$

si $i$ y $j$ pertenecen a la misma muestra, y es nula en otro caso.

La expresión de los estimadores insesgados es la siguiente, obtenidos a partir del estimador de Horvitz - Thompson:

Para la Media:

$\widehat{\overline{X}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}x_{j+ik}$

Para el Total:

$\widehat{X}=k\sum_{i=1}^{n-1}x_{j+ik}$

Para la Proporción:

$\widehat{P}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}A_{j+ik}$

Estimación de las Varianzas.

En la práctica para estimar las varianzas de las estimaciones para este método, se pueden utilizar varios métodos como las muestras interpenetrantes, diferencias sucesivas, etc. En este caso vamos a considerar el método de las poblaciones al azar, que se utiliza cuando la muestra se puede considerar los suficientemente aleatoria y como estimadores de las varianzas se utilizan las expresiones del muestreo aleatorio simple.

lunes 1 de junio de 2009

Distribución de Probabilidad Normal

Una variable aleatorio $X$ se dice que sigue una distribución normal de media $\mu$ y varianza $\sigma^2$ si su función de densidad se escribe de la forma:

$f(x;\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)$

Propiedades:

Toma valores en todo $\mathbb{R}$ .
Es una función simétrica respecto de $\mu$ .

$f(x+\mu)=f(x-\mu)$

Es estrictamente creciente si $x<\mu$ y estrictamente decreciente si $x>\mu$ .
Posee un máximo en $x=\mu$ .

Posee puntos de inflexión en $\mu-\sigma$ y $\mu+\sigma$ .
En $y=0$ posee una asíntota horizontal.

Características:

Esperanza: La esperanza de la distribución es $\mu$ .
Varianza: La varianza de la distribución es $\sigma^2$ .
Función Generatriz de Momentos: La función de generatriz de momentos es

$M_X(t)=\exp\left(t\mu+\frac{1}{2}t^2\sigma^2\right)$

Cambio de origen y escala: La variable no se ve afectada por cambios de origen ni escala, es decir, si $Y=aX+b$ entonces posee la siguiente distribución

$Y\rightsquigarrow N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$

viernes 15 de mayo de 2009

Muestreo Estratificado: Tamaño Muestral

Como es usual, determinamos el error máximo admisible, $e$ , y el coeficiente $k$ correspondiente al nivel de confianza $p_k$ . Además, en muestreo estratificado necesitamos determinar también el tipo de afijación que se va a considerar. Así obtenemos los diferentes tamaños muestrales:

Para la media:

$n=\frac{\sum_{h=1}^L\frac{W_h^2S_h^2}{w_h}}{\frac{e^2}{k^2}+\frac{1}{N}\sum_{h=1}^LW_hS_h^2}$ .

Para el total:

$n=\frac{\sum_{h=1}^L\frac{W_h^2S_h^2}{w_h}}{\frac{e^2}{k^2}+\sum_{h=1}^LN_hS_h^2}$ .

Para la proporción:

$n=\frac{\sum_{h=1}^LW_h^2\frac{N_h}{N_h-1}\frac{P_hQ_h}{w_h}}{\frac{e^2}{k^2}+\frac{1}{N^2}\sum_{h=1}^L\frac{N_h^2}{N_h-1}P_hQ_h}$ .

Muestreo Estratificado: Número de Estratos

Para determinar el número de estratos se suele utilizar la expresión:

$L=2n\frac{C_u}{C_e}$

siendo $C_u$ el coste por unidad $C_e$ el coste por estrato. El problema que presenta esta fórmula es que no es muy operativa ya que depende del tamaño de la muestra.

En general la precisión aumenta con el número de estratos si estos están bien elegidos, pero no conviene produgar su número si tal aumento no compensa las complicaciones de cálculo. Evidentemente el número máximo de estratos debe ser $\frac{n}{2}$ para poder estimar las varianzas en cada estrato, y en general se recomienda tomar menos de 6 estratos.

Muestreo Estratificado: Afijación

Se da el nombre de afijación a la asignación del tamaño muestral $n$ entre los distintos estratos. Pueden establecerse diversas formas de repartir la muestra, entre las que destacan cuatro especialemente:

Afijación uniforme: Se toman todos los $n_h$ iguales, es decir, se asigna el mismo número de unidades a cada estrato, esta afijación favorece a los estratos más pequeños y perjudica a los grandes:

$n_h=\frac{n}{L}=k\hspace{0.5cm}\forall h.$

Afijación proporcional: En este caso $n_h$ es proporcional al tamaño del estrato

$n_h=N_h\cdot cte\hspace{0.5cm}\forall h$

con

$k=f=\f_hW_h=\frac{n_h}{n}=w_h\hspace{0.5cm}\forall h$ .

Todas las unidades tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas

$\pi_h=\frac{n_h}{N_h}=f_h.$

Afijación de mínima varianza o de Neyman: En este tipo de afijación se eligen $n_h$ de forma que minimicen la varianza para un $n$ fijo. El problema consiste en minimizar $V(\bar{x}_{st})$ sujeto a $\sum_hn_h=n$ . Por lo tanto la muestra se reparte como:

$n_h=\frac{N_hS_h}{\sum_{j=1}^LN_jS_j}$ .

Afijación óptima: En este caso se elige $n_h$ de forma que minimicen la varianza para un coste fijo $C$ . En este coste viene dado por $C=c_0+\sum_hn_hx_h$ , donde $c_h$ es el coste por unidad en el estrato $h$ y $c_0$ es el coste inicial. La afijación queda:

$n_h=\dfrac{N_hS_h\frac{1}{\sqrt{c_h}}}{\sum_{j=1}^LN_jS_j\frac{1}{\sqrt{c_j}}}$ .

Muestreo Estratificado Aleatorio: Intervalos de Confianza

Si suponemos que el tamaño de la muestra es suficientemente grande como para que los estimadores se distribuyan según una normal, obtenemos las siguientes expresiones para los intervalos de confianza a nivel $1-\alpha$ :

Para el total: $\left(N\bar{x}_{st}-z_{\alpha/2}\sqrt{\widehat{V}\left(\widehat{X}_{st}\right)};N\bar{x}_{st}+z_{\alpha/2}\sqrt{\widehat{V}\left(\widehat{X}_{st}\right)}\right)$ .

Para la media: $\left(\bar{x}_{st}-z_{\alpha/2}\sqrt{\widehat{V}\left(\bar{x}_{st}\right)};\bar{x}_{st}+z_{\alpha/2}\sqrt{\widehat{V}\left(\bar{x}_{st}\right)}\right)$ .

Para la proporción: $\left(\widehat{P}_{st}-z_{\alpha/2}\sqrt{\widehat{V}\left(\widehat{P}_{st}\right)};\widehat{P}_{st}+z_{\alpha/2}\sqrt{\widehat{V}\left(\widehat{P}_{st}\right)}\right)$ .

Muestreo Estratificado Aleatorio: Estimadores y Varianzas

Para el caso particular para el que en cada estrato se realiza un muestreo aleatorio simple,

$MAS(N_h,n_h)$ , se dice que el diseño muestral es un muestreo estratificado aleatorio y las pobabilidades de inclusión son:

$\pi_i^h=\frac{n_h}{N_h}\hspace{3cm}\pi{ij}^h=\frac{n_h(n_h-1)}{N_h(N_h-1)}$

y los estimadores adoptan la forma:

Para el total: $\widehat{Y}_{st}=\sum_{h=1}^LN_h\bar{y}_h$ .

Para la media: $\widehat{\overline{Y}}_{st}=\sum_{h=1}^L\frac{N_h}{N}\bar{y}_h$ .

Para la proporción: $\widehat{P}_{st}= \sum_{h=1}^L\frac{N_h}{N}p_h$ .

Cuyas varianzas estimadas son las siguientes:

Para el total: $\widehat{V}\left(\widehat{Y}_{st}\right)=\sum_{h=1}^L N_h^2\frac{1-f_h}{n_h}s_h^2$ .

Para la media: $\widehat{V}\left(\widehat{ \overline{Y}}_{st}\right)=\frac{1}{N^2}\widehat{V}(\widehat{Y}_{st})$ .

Para la proporción: $\widehat{V}\left(\widehat{P}_{st}\right) = \sum_{h=1}^L\left(\frac{Nh}{N}\right)^2\frac{N_h-n_h}{N_h-1}\frac{p_hq_h}{n_h-1}$ .

Cabe observar que los estimadores de estas varianzas coinciden con los estimadores de Yates - Grundy.

Muestreo Estratificado

En el muestreo estratificado la población de $N$ unidades está dividida en subpoblaciones $N_1,N_2,\dots,N_L$ unidades. Estos subpoblaciones (estratos) no se superponen y juntas forman la totalidad de la población. De cada estrato se extrae una muestra, y por tanto la muestra final estará compuesta por el conjunto de estas submuestras.

Diseño muestral.

En la población $\mathcal{U}$ estratificada en $L$ estratos $\mathcal{U}_1,\dots,\mathcal{U}_L$ , con el diseño muestral $d_h=(S_h,P_h)$ definido en cada estrato, independientemente de los demás estratos, se obtiene una muestra $s=(s_1,\dots,s_L)$ con probabilidad $p(s)=p_1(s)\cdot \dots\cdot p_L(s)$ .

Probabilidades de inclusión.

Las probabilidades de inclusión de primer orden son, $\pi_i=\pi_i^{d_h}$ , probabilidad de inclusión en la muestra $s_h$ si el elemento $u_i$ está en el estrato $\mathcal{U}_h$ .

Las probabilidades de inclusión de segundo orden son:

Si ambas unidades están en $\mathcal{U}_L$ : $\boxed{\pi_{ij}=\pi_{ij}^{d_h}}$ .
Si la unidad $u_i$ está en $\mathcal{U}_h$ y la unidad $u_j$ está en $\mathcal{U}_k$ con $k\neq h$ : $\boxed{\pi_{ij}=\pi_i^{d_h}\pi_j^{d_h}}$ .

Método de Fan, Muller y Rezucha para la obtención de una Muestra Aleatoria Simple

Para seleccionar una muestra aleatoria simple mediante este método hay que seguir los siguientes pasos:

Para cada elemento de la población se genera un número aleatorio $r$ entre 0 y 1.
Se hace un recorrido secuencial de la población y si $r\le \frac{n-n_i}{N-i+1}$ se introduce la unidad en la muestra comprobando que no estuviera anteriormente introducida, en el caso de que esté repetida se pasa a la siguiente unidad. Si se introduce la unidad se vuelve a empezar en el paso 1.
El algoritmo termina cuando $n_j = n$ .

Contraste sobre la media de una población normal

Los siguientes contrastes se realizan suponiendo que la distribución poblacional de nuestra muestra es normal. En primer lugar distinguiremos dos casos, cuando la varianza es conocida y cuando la varianza es desconocida. El contraste a realizar es el siguiente a un nivel de significación $\alpha$ :

$H_0:\mu=\mu_0$
$H_1:\mu\neq\mu_0$

Cuando la varianza poblacional, $\sigma^2$ , es conocida se utiliza el siguiente estadístico de contraste:

$Z = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\rightsquigarrow N(0,1)$

que se distribuye asintóticamente como uno Normal tipificada. Y por lo tanto rechazaremos la hipótesis nula cuando:

$z_0 < -z_{\alpha/2}\mbox{ o } z_0 > z_{\alpha/2}$

En el caso de que la varianza poblacional $\sigma^2$ sea desconocida el estadístico de contraste a utiliza es

$T = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\rightsquigarrow t_{n-1}$

Y rechazaremos la hipótesis nula para $n\geq 30$ cuando

$z_0 < -z_{\alpha/2} \mbox{ o } z_0 > z_{\alpha/2}$

y en el caso de que se rechazará cuando

$t_0 < -t_{n;\alpha/2} \mbox{ o } t_0 > t_{n;\alpha/2}$