Muestreo Estratificado Aleatorio: Intervalos de Confianza

Si suponemos que el tamaño de la muestra es suficientemente grande como para que los estimadores se distribuyan según una normal, obtenemos las siguientes expresiones para los intervalos de confianza a nivel :

• Para el total: .

• Para la media: .

• Para la proporción: .

Muestreo Estratificado Aleatorio: Estimadores y Varianzas

Para el caso particular para el que en cada estrato se realiza un muestreo aleatorio simple,

, se dice que el diseño muestral es un muestreo estratificado aleatorio y las pobabilidades de inclusión son:

y los estimadores adoptan la forma:

• Para el total: .

• Para la media: .

• Para la proporción: .

Cuyas varianzas estimadas son las siguientes:

• Para el total: .

• Para la media: .

• Para la proporción: .

Cabe observar que los estimadores de estas varianzas coinciden con los estimadores de Yates - Grundy.

Muestreo Estratificado

En el muestreo estratificado la población de unidades está dividida en subpoblaciones unidades. Estos subpoblaciones (estratos) no se superponen y juntas forman la totalidad de la población. De cada estrato se extrae una muestra, y por tanto la muestra final estará compuesta por el conjunto de estas submuestras.

Diseño muestral.

En la población estratificada en estratos , con el diseño muestral definido en cada estrato, independientemente de los demás estratos, se obtiene una muestra con probabilidad .

Probabilidades de inclusión.

Las probabilidades de inclusión de primer orden son, , probabilidad de inclusión en la muestra si el elemento está en el estrato .

Las probabilidades de inclusión de segundo orden son:

• Si ambas unidades están en : .
• Si la unidad está en y la unidad está en con : .

Método de Fan, Muller y Rezucha para la obtención de una Muestra Aleatoria Simple

Para seleccionar una muestra aleatoria simple mediante este método hay que seguir los siguientes pasos:

1. Para cada elemento de la población se genera un número aleatorio entre 0 y 1.
2. Se hace un recorrido secuencial de la población y si se introduce la unidad en la muestra comprobando que no estuviera anteriormente introducida, en el caso de que esté repetida se pasa a la siguiente unidad. Si se introduce la unidad se vuelve a empezar en el paso 1.
3. El algoritmo termina cuando .

Contraste sobre la media de una población normal

Los siguientes contrastes se realizan suponiendo que la distribución poblacional de nuestra muestra es normal. En primer lugar distinguiremos dos casos, cuando la varianza es conocida y cuando la varianza es desconocida. El contraste a realizar es el siguiente a un nivel de significación :

• Cuando la varianza poblacional, , es conocida se utiliza el siguiente estadístico de contraste:
  

que se distribuye asintóticamente como uno Normal tipificada. Y por lo tanto rechazaremos la hipótesis nula cuando:

• En el caso de que la varianza poblacional sea desconocida el estadístico de contraste a utiliza es
  

Y rechazaremos la hipótesis nula para cuando

y en el caso de que se rechazará cuando

Índice de Gini

El índice de Gini nos sirve para calcular el área encerrada entre la curva de Lorenz y la diagonal que pasa por los puntos (0,0) y (1,1), así podremos cuantificar de forma más sencilla si existe equidistribución o no y también nos permiterá realizar una mejor comparación entre diferentes variables.

La expresión para calcularlo es:

 G=\left|1-\sum_{i=1}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)(y_{i+1}-y_i)\right|

• Está acotado entre 0 y 1, y cuanto menor sea el indicador mejor equidistribución existirá en la población.
  

Curva de Lorenz

La curva de Lorenz es un caso de una medidad de concentración. Estos estadísticos se aplican a variables socio-económicas que son susceptibles de ser repartidas, como puede ser el nivel de renta, los salarios, beneficios, etc. El reparto de las variables puede ser en función de zonas geográficas, ubicaciones o categorías.

El objetivo es observar y mediar como se reparte el total de la variable de interés:

entre los individuos de la población.


Curva de Lorenz

La curva de Lorenz es la curva que pasa por los pares de puntos donde:

• 

• con

Podemos observar que es la frecuencia relativa acumulada. También podemos ver que es la distribución de cada uno de los valores o el porcentaje del total acumulado por los individuos con un valor observado .
Otra característica que nos llama la atención es que ambas medidas toman valores entre 0 y 1.

Propiedades:

1. La curva de Lorenz siempre empieza en el punto (0,0) y termina en el punto (1,1)
2. Es un curva creciente.
3. Siempres es inferior o igual que la diagonal que pasa por los puntos (0,0) y (1,1).

Por lo tanto para realizar la representación de la curva en primer lugar vamos a representar la recta (0,0) y (1,1) y después vamos representar cada par de puntos .

La curva de Lorenz tendrá la siguiente estructura:



Por lo tanto cuanto más cercana este la curva a la digonal implica una mayor equidistribución. Y cuando más lejana esté menor equidistribución en el reparto del total.