Muestreo Sistemático

En este muestreo se parte de una población de unidades numeradas en algún orden. Para seleccionar una muestra de unidades (siendo ) tomamos al azar una unidad entre las primeras unidades, y de ahí en adelante tomamos cada -ésima unidad. recibe el nombre de intervalo de selección.

Este tipo de muestreo presenta ventajas aparentes sobre el muestreo aleatorio simple, como son:

1. Es más fácil y rápido de obtener la muestra.
2. Ninguna sucesión grande de elementos de la lista queda sin representación, a causa de esto en ocasiones el muestreo sistemático puede ser más representativo que muestreo aleatorio simple.
3. En la práctica es más sencillo llervarlo a cabo y por lo tanto está menos expuesto a los errores de selección que cometen los investigadores de campo.
4. Se puede poner en práctica sin conocer de antemano el tamaño de la población.

El proceso para la selección de una muestra mediante este método empieza con la determinación del valor . Esta decisión es importanto, ya que si tomamos un valor muy grande la muestra será muy pequeña y si tomamos una muy pequeño la muestra será muy grande.
En la práctica se debe seguir el siguiente procedimiento para seleccionar el intervalo de selección:

1. Si es conocido, se determina el tamaño de la muestra aproximado para la encuesta y luego se selecciona como la parte entera de .
2. Si el tamaño poblacional es desconocido no se puede seleccionar exactamente el valor de .

Estimadores y sus varianzas.

Las probabilidades de inclusión vienen dadas por

y las de segundo orden como

si y pertenecen a la misma muestra, y es nula en otro caso.

La expresión de los estimadores insesgados es la siguiente, obtenidos a partir del estimador de Horvitz - Thompson:

• Para la Media:

• Para el Total:

• Para la Proporción:

Estimación de las Varianzas.

En la práctica para estimar las varianzas de las estimaciones para este método, se pueden utilizar varios métodos como las muestras interpenetrantes, diferencias sucesivas, etc. En este caso vamos a considerar el método de las poblaciones al azar, que se utiliza cuando la muestra se puede considerar los suficientemente aleatoria y como estimadores de las varianzas se utilizan las expresiones del muestreo aleatorio simple.

Distribución de Probabilidad Normal

Una variable aleatorio se dice que sigue una distribución normal de media y varianza si su función de densidad se escribe de la forma:

Propiedades:

• Toma valores en todo .
• Es una función simétrica respecto de.

• Es estrictamente creciente si y estrictamente decreciente si .
• Posee un máximo en.

• Posee puntos de inflexión en y .
• En posee una asíntota horizontal.

Características:

1. Esperanza: La esperanza de la distribución es.
2. Varianza: La varianza de la distribución es.
3. Función Generatriz de Momentos: La función de generatriz de momentos es
   


Cambio de origen y escala: La variable no se ve afectada por cambios de origen ni escala, es decir, si entonces posee la siguiente distribución

Muestreo Estratificado: Tamaño Muestral

Como es usual, determinamos el error máximo admisible, , y el coeficiente correspondiente al nivel de confianza . Además, en muestreo estratificado necesitamos determinar también el tipo de afijación que se va a considerar. Así obtenemos los diferentes tamaños muestrales:

• Para la media:

.

• Para el total:

.

• Para la proporción:

.

.

Muestreo Estratificado: Número de Estratos

Para determinar el número de estratos se suele utilizar la expresión:

siendo el coste por unidad el coste por estrato. El problema que presenta esta fórmula es que no es muy operativa ya que depende del tamaño de la muestra.

En general la precisión aumenta con el número de estratos si estos están bien elegidos, pero no conviene produgar su número si tal aumento no compensa las complicaciones de cálculo. Evidentemente el número máximo de estratos debe ser para poder estimar las varianzas en cada estrato, y en general se recomienda tomar menos de 6 estratos.

Muestreo Estratificado: Afijación

Se da el nombre de afijación a la asignación del tamaño muestral entre los distintos estratos. Pueden establecerse diversas formas de repartir la muestra, entre las que destacan cuatro especialemente:

• Afijación uniforme: Se toman todos los iguales, es decir, se asigna el mismo número de unidades a cada estrato, esta afijación favorece a los estratos más pequeños y perjudica a los grandes:

• Afijación proporcional: En este caso es proporcional al tamaño del estrato

con

.

Todas las unidades tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas

• Afijación de mínima varianza o de Neyman: En este tipo de afijación se eligen de forma que minimicen la varianza para un fijo. El problema consiste en minimizar sujeto a . Por lo tanto la muestra se reparte como:

.

• Afijación óptima: En este caso se elige de forma que minimicen la varianza para un coste fijo . En este coste viene dado por , donde es el coste por unidad en el estrato y es el coste inicial. La afijación queda:
  

.