Muestreo Estratificado: Tamaño Muestral

Como es usual, determinamos el error máximo admisible, , y el coeficiente correspondiente al nivel de confianza . Además, en muestreo estratificado necesitamos determinar también el tipo de afijación que se va a considerar. Así obtenemos los diferentes tamaños muestrales:

• Para la media:

.

• Para el total:

.

• Para la proporción:

.

.

Muestreo Estratificado: Número de Estratos

Para determinar el número de estratos se suele utilizar la expresión:

siendo el coste por unidad el coste por estrato. El problema que presenta esta fórmula es que no es muy operativa ya que depende del tamaño de la muestra.

En general la precisión aumenta con el número de estratos si estos están bien elegidos, pero no conviene produgar su número si tal aumento no compensa las complicaciones de cálculo. Evidentemente el número máximo de estratos debe ser para poder estimar las varianzas en cada estrato, y en general se recomienda tomar menos de 6 estratos.

Muestreo Estratificado: Afijación

Se da el nombre de afijación a la asignación del tamaño muestral entre los distintos estratos. Pueden establecerse diversas formas de repartir la muestra, entre las que destacan cuatro especialemente:

• Afijación uniforme: Se toman todos los iguales, es decir, se asigna el mismo número de unidades a cada estrato, esta afijación favorece a los estratos más pequeños y perjudica a los grandes:

• Afijación proporcional: En este caso es proporcional al tamaño del estrato

con

.

Todas las unidades tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas

• Afijación de mínima varianza o de Neyman: En este tipo de afijación se eligen de forma que minimicen la varianza para un fijo. El problema consiste en minimizar sujeto a . Por lo tanto la muestra se reparte como:

.

• Afijación óptima: En este caso se elige de forma que minimicen la varianza para un coste fijo . En este coste viene dado por , donde es el coste por unidad en el estrato y es el coste inicial. La afijación queda:
  

.

Muestreo Estratificado Aleatorio: Intervalos de Confianza

Si suponemos que el tamaño de la muestra es suficientemente grande como para que los estimadores se distribuyan según una normal, obtenemos las siguientes expresiones para los intervalos de confianza a nivel :

• Para el total: .

• Para la media: .

• Para la proporción: .

Muestreo Estratificado Aleatorio: Estimadores y Varianzas

Para el caso particular para el que en cada estrato se realiza un muestreo aleatorio simple,

, se dice que el diseño muestral es un muestreo estratificado aleatorio y las pobabilidades de inclusión son:

y los estimadores adoptan la forma:

• Para el total: .

• Para la media: .

• Para la proporción: .

Cuyas varianzas estimadas son las siguientes:

• Para el total: .

• Para la media: .

• Para la proporción: .

Cabe observar que los estimadores de estas varianzas coinciden con los estimadores de Yates - Grundy.

Muestreo Estratificado

En el muestreo estratificado la población de unidades está dividida en subpoblaciones unidades. Estos subpoblaciones (estratos) no se superponen y juntas forman la totalidad de la población. De cada estrato se extrae una muestra, y por tanto la muestra final estará compuesta por el conjunto de estas submuestras.

Diseño muestral.

En la población estratificada en estratos , con el diseño muestral definido en cada estrato, independientemente de los demás estratos, se obtiene una muestra con probabilidad .

Probabilidades de inclusión.

Las probabilidades de inclusión de primer orden son, , probabilidad de inclusión en la muestra si el elemento está en el estrato .

Las probabilidades de inclusión de segundo orden son:

• Si ambas unidades están en : .
• Si la unidad está en y la unidad está en con : .